利率与债券

Sun, 20 Feb 2022 20:44:00 +0800

1. 一些概念

到期收益率（yield to maturity）：使债务工具所有的未来回报的现值与其今天价值相等的利率。
回报率：$R = \frac{C + P_{t + 1} - P_t}{P_t} = \frac{C}{P_t} + \frac{P_{t + 1} - P_t}{P_t} = i_c + g$

其中$P_t$表示$t$时刻债券价格；$C$表示息票利息；$i_c$表示债券标注的利率；$g$表示资产增值

注：不是所有债券通用的计算规则。
名义利率（nominal interest rate）：$i$

实际利率（real interest rate）：$r$

通货膨胀率（inflation rate）：$\pi^e$

上述三种变量的关系如下： $$ \begin{cases} i = r + \pi^e + r\pi^e \\\ r = i - \pi^e\frac{1 + i}{1 + \pi^e} \end{cases} $$

2. 四种贷债券的分析

普通债券：到期归还本金和利息，其到期收益率的公式如下：

$$ PV = \frac{CF}{(1 + i)^n} $$

$PV$为借款金额，即现值；$CF$为n年后还款额；$i$为到期收益率。

定投原理

Sat, 19 Feb 2022 23:44:00 +0800

分析一个定投的原理并且做一些定投的实验。通过原理找出合适定投的产品，并且通过实验验证结论是否正确。

1. 定投模型

定投就是每隔一定的时间就对一个投资产品进行固定金额的购买。为了能简化出来定投的数学模型，定义如下符号：

$x$每次定投的金额
$0-T$总定投的时间
$\Delta T$每次定投间隔的时间
$f(t)$投资产品的价格关于时间的函数（例如一股$f(t)$元）

由定投的总时间和定投的间隔时间我们可以计算出定投的总次数$n = T / \Delta T$，那么投资的总金额就是$TV = nx = xT/\Delta T$。不妨设在$\Delta T$时刻进行第一次投资，那么第$i$次投资获得产品数量$m_i = x / f(i \Delta T)$，总共获得投资产品的数量为$M= \sum_{i = 1}^{n} m_i$。计算出总数量和总成本，就可以计算出平均成本$c$如下：

$$ c = TV / M\\ = \frac{xn}{\sum_{i = i}^{n} \frac{x}{f(i \Delta T)}}\\ = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{f(i \Delta T)}} $$

已知如果想要投资获利，那么投资人的目标是降低手上每一份投资产品的均价尽量低，并且在卖出时的价格尽量高。定投平没有规定卖出的时间，因此定投策略本身无法控制卖出价格。根据上面的分可以看定投主要控制的是买入的平均价格。

买入的平均价格是$c$，这个公式实际上是一个调和平均数的公式。定投的魔力也正是通过这个调和平均数表现出来。如果我们在任意一个时刻all in一个投资产品那么我们得到的产品价格是算数平均数。根据基础的不等式知识知道调和平均数<算数平均数。用公式来说就是：

$$ \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{f(i \Delta T)}} < \frac{\sum_{i = 1}^n f(i \Delta T)}{n} $$

右边的公式就是算出平均数，也就是随机一点all in的平均成本。

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1. 定投模型